Gráfico do espaço versus tempo do Movimento Uniformemente Variado

O estudo dos gráficos do movimento uniformemente variado trata de explicar em forma de diagrama o movimento de objetos com a aceleração constante. Para obtermos as informações contidas no gráfico que explicam o movimento é necessário que saibamos ler, interpretar o gráfico. Neste estudo iremos ver apenas gráficos de espaço versus tempo pelo fato de haver inúmeras informações relevantes, depois continuaremos em outro texto falando dos gráficos da velocidade versus tempo.

Você sabe o que significa um objeto ter aceleração de 2m/s2? Significa dizer que este objeto a cada segundo varia sua velocidade em 2m/s, por isso que em sua unidade o símbolo dos segundos está elevado ao quadrado. Então o que tem a ver o nome uniformemente? Observe que a velocidade está variando, certo? Isso você já sabe, mas a uniformidade está na sua variação, ou seja, a velocidade irá variar sempre a uma mesma taxa, no caso citado sempre será de 2m/s. Supondo que sua velocidade inicial seja zero e o objeto tenha uma aceleração de 2m/s2, em 1 segundo temos a velocidade de 2m/s, em 2 segundos a velocidade será de 4m/s, em 3 segundos será de 6m/s e assim por diante.

Equação do segundo grau e o gráfico que queremos.

Agora daremos inicio ao estudo do gráfico do espaço versus tempo do movimento uniformemente variado no qual sua equação é classificada como equação do 2º grau. Falando em equação do 2º grau, você se lembra da sua forma geral? Vamos relembrar? A forma geral da equação é a seguinte:

A, B e C são constantes e A nunca poderá ser zero, pois deixará de ser uma equação do segundo grau. Antes de verificarmos aquelas propriedades da equação, vamos comparar com a equação horária do espaço do movimento uniformemente variado. Sua equação é a seguinte:

Vamos comparar? Na verdade a estrutura é a mesma, apenas a simbologia é diferente, vejamos:

Y = S, essa foi fácil, não?

E os outros termos? Bom quem está elevado ao quadrado é o X. E na outra equação quem está? É o t, não é isso! Pois bem, o t representa o X, então:

X2 = t2, logo A = a/2

X = t, logo B = v0

E o último termo que é C será igual a S0.

Gráfico e equação de um movimento uniformemente variado

Fiz esta comparação para mostrar que as propriedades que aprendemos na matemática para resolução de equações do 2º grau, nos serão muito úteis no estudo de gráficos de espaço versus tempo do movimento uniformemente variado. Como forma de facilitar o aprendizado, darei uma situação problema, a equação e seu gráfico para analisarmos, a equação é a seguinte:

Faremos uma analise deste gráfico:

I) Identificar os termos da equação:

S0 = 21 metros,
v0 = – 10 m/s,
a/2=1→a=2m/s2

Lembra sobre a correspondência com os termos da equação do 2º? A = 1, B = -10 e C = 21. Não confunda o termo A que vale 1 com o valor da aceleração que tem o valor numérico 2. Esse gráfico foi feito em termos do valor de A.

II) Calcular e analisar o Delta ∆:

∆ = B2 – 4AC

∆ = (-10)2 – 4(1)(21)

∆ = 100 – 84 = 16

Temos que ∆ > 0, as raízes da equação são reais e o gráfico tem concavidade para baixo, como você observou.

III) Achar as raízes da equação:

Pelo gráfico é fácil perceber quais são as raízes da equação, é onde o gráfico toca o eixo do tempo, observe. O gráfico toca nos pontos 3 e 7, isto significa dizer que no instante 3 segundos o objeto estava na posição zero e no instante 7 segundos estava na posição zero também, estranho? Mais na frente saberemos o motivo. Mas caso queira calcular para encontrar as raízes, vamos lá:

IV) Estudo dos sinais:

V) Calculando o valor de mínimo:

Quando temos um gráfico de concavidade para baixo, podemos obter o valor de mínimo, ou seja, é o menor valor que o espaço assumirá em um tempo t. Neste ponto de coordenadas (t, s) a velocidade é nula. Primeiro acharemos essas coordenadas e depois verificaremos se realmente a velocidade é nula neste ponto. As coordenadas (t, s) achamos desta forma:

Então o nosso ponto terá as coordenadas (5s, -4m), agora vamos verificar se a velocidade é nula, para isto usaremos a equação da velocidade:

v = v0 + at  →

v = -10 + 2(5)   →

v = 0

Este resultado significa dizer que o objeto parou para mudar de direção, a figura abaixo ilustrará a situação do gráfico:

Esta figura mostra o objeto saindo da sua posição inicial que é de 21 metros, no instante inicial, indo em direção ao marco zero, deslocando para o lado esquerdo. Ao chegar a origem dos espaços, é justamente quando o gráfico passa pela primeira vez no eixo do tempo e quando chega no instante 5 segundos o objeto zera sua velocidade. Observe a próxima ilustração a partir do instante em que a velocidade é nula e veja o que acontece:

O objeto parou e mudou sua direção, agora se desloca na direção positiva do espaço, indo para a direita. Procure seguir esses passos e desenhar da forma das ilustrações anteriores que terá todas as informações necessárias para a resolução da sua questão.

Texto enviado pelo Professor Adriando Marden de Souza Bastos